Giải hệ phương trình tuyến tính

Cho phương trình

A x = L U x = b {\displaystyle Ax=LUx=b\,}

ta muốn giải phương trình này với A và b cho trước. Khi đó nghiệm của phương trình được tính qua 2 bước:

1. Đầu tiên, giải phương trình L y = b {\displaystyle Ly=b} để tìm y
2. Sau đó giải phương trình U x = y {\displaystyle Ux=y} để tìm x.

Nhận xét rằng trong cả hai bước ta chỉ phải làm việc với các ma trận tam giác (trên và dưới). Các phương trình này có thể được giải đơn giản bằng các phép thế thay vì sử dụng phép khử Gauss (tuy nhiên ta vẫn cần một thuật toán tương tự như phép khử Gauss để tính phân tích LU). Do đó phân tích LU chỉ tỏ ra hiệu quả khi ta phải giải phương trình trên nhiều lần với các giá trị khác nhau của b; khi đó chỉ cần tính phân tích LU của A một lần và giải các ma trận tam giác với các giá trị khác nhau của b, thay vì phải sử dụng nhiều lần các phép khử Gauss.

Tính ma trận nghịch đảo

Khi giải hệ phương trình, thường thì b được xem là vector có chiều dài bằng số dòng của A. Nếu thay vì vector b, ta có ma trận B, với B là ma trận kích thước n × p {\displaystyle n\times p} , thì ta sẽ phải tìm ma trận X (cũng có kích thước n × p {\displaystyle n\times p} ):

A X = L U X = B . {\displaystyle AX=LUX=B.}

Có thể sử dụng cùng phương pháp ở trên để giải cho mỗi cột của ma trận X. Với giả sử rằng B là ma trận đơn vị với kích thước n thì X khi đó là nghịch đảo của A.[2]

Tính định thức

Các ma trận L {\displaystyle L} và U {\displaystyle U} có thể được dùng để tính định thức của ma trận A {\displaystyle A} rất hiệu quả vì det(A) = det(L) det(U) và định thức của các ma trận tam giác đơn giản là tích các phần tử trên đường chéo của nó. Đặc biệt, nếu L là ma trận tam giác đơn vị thì:

det ( A ) = det ( L ) det ( U ) = 1 ⋅ det ( U ) = ∏ i = 1 n u i i . {\displaystyle \det(A)=\det(L)\det(U)=1\cdot \det(U)=\prod _{i=1}^{n}u_{ii}.}

Tương tự với phân tích LUP. Định thức của ma trận hoán vị P là (−1)S, với S {\displaystyle S} là số lượng phép hoán đổi dòng trong phép phân tích.